Nel 2013 Ian Stewart, professore emerito di matematica presso l’università di Warwick, ha pubblicato un libro molto interessante e che consiglio a tutti di leggere, almeno per chi non ha problemi con l’inglese. Come da titolo di questo articolo, il libro si intitola “Alla ricerca dello sconosciuto: 17 equazioni che hanno cambiato il mondo”.
Perchè ho deciso di dedicare un articolo a questo libro?
In realtà, il mio articolo, anche se, ripeto, è un testo che consiglio, non vuole essere una vetrina pubblicitaria a questo testo, ma l’inizio di una riflessione molto importante. Queste famose 17 equazioni che, secondo l’autore, hanno contribuito a cambiare il mondo che oggi conosciamo, rappresentano un ottimo punto di inizio per discutere su alcune importanti relazioni scritte recentemente o, anche, molti secoli fa.
Come spesso ripetiamo, il ruolo della fisica è quello di descrivere il mondo, o meglio la natura, che ci circonda. Quando i fisici fanno questo, riescono a comprendere perchè avviene un determinato fenomeno e sono altresì in grado di “predirre” come un determinato sistema evolverà nel tempo. Come è possibile questo? Come è noto, la natura ci parla attraverso il linguaggio della matematica. Modellizare un sistema significa trovare una o più equazioni che prendono in considerazione i parametri del sistema e trovano una relazione tra questi fattori per determinare, appunto, l’evoluzione temporale del sistema stesso.
Ora, credo che sia utile partire da queste 17 equzioni proprio per riflettere su alcuni importanti risultati di cui, purtroppo, molti ignorano anche l’esistenza. D’altro canto, come vedremo, ci sono altre equazioni estremanete importanti, se non altro per le loro conseguenze, che vengono studiate a scuola senza però comprendere la potenza o le implicazioni che tali risultati hanno sulla natura.
Senza ulteriori inutili giri di parole, vi presento le 17 equazioni, ripeto secondo Stewart, che hanno cambiato il mondo:
Le 17 equazioni che hanno cambiato il mondo secondo Ian Stewart
Sicuramente, ognuno di noi, in base alla propria preparazione, ne avrà riconosciute alcune.
Passiamo attraverso questa lista per descrivere, anche solo brevemente, il significato e le implicazioni di questi importanti risultati.
Teorema di Pitagora
Tutti a scuola abbiamo appreso questa nozione: la somma dell’area dei quadrati costruiti sui cateti, è pari all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa. Definizione semplicissima, il più delle volte insegnata come semplice regoletta da tenere a mente per risolvere esercizi. Questo risultato è invece estremamente importante e rappresenta uno dei maggiori assunti della geometria Euclidea, cioè quella che tutti conoscono e che è relativa al piano. Oltre alla tantissime implicazioni nello spazio piano, la validità del teorema di Pitagora rappresenta una prova indiscutibile della differenza tra spazi euclidei e non. Per fare un esempio, questo risultato non è più vero su uno spazio curvo. Analogamente, proprio sfruttando il teorema di Pitagora, si possono fare misurazioni sul nostro universo, parlando proprio di spazio euclideo o meno.
Logaritmo del prodotto
Anche qui, come riminescenza scolastica, tutti abbiamo studiato i logaritmi. Diciamoci la verità, per molti questo rappresentava un argomento abbastanza ostico e anche molto noioso. La proprietà inserita in questa tabella però non è affatto banale e ha avuto delle importanti applicazioni prima dello sviluppo del calcolo informatizzato. Perchè? Prima dei moderni calcolatori, la trasformazione tra logaritmo del prodotto e somma dei logaritmi, ha consentito, soprattutto in astronomia, di calcolare il prodotto tra numeri molto grandi ricorrendo a più semplici espedienti di calcolo. Senza questa proprietà, molti risultati che ancora oggi rappresentano basi scientifiche sarebbero arrivati con notevole ritardo.
Limite del rapporto incrementale
Matematicamente, la derivata di una funzione rappresenta il limite del rapporto incrementale. Interessante! Cosa ci facciamo? La derivata di una funzione rispetto a qualcosa, ci da un’indicazione di quanto quella funzione cambi rispetto a quel qualcosa. Un esempio pratico è la velocità, che altro non è che la derivata dello spazio rispetto al tempo. Tanto più velocemente cambia la nostra posizione, tanto maggiore sarà la nostra velocità. Questo è solo un semplice esempio ma l’operazione di derivata è uno dei pilastri del linguaggio matematico utilizzato dalla natura, appunto mai statica.
Legge di Gravitazione Universale
Quante volte su questo blog abbiamo citato questa legge. Come visto, questa importante relazione formulata da Newton ci dice che la forza agente tra due masse è direttamente proporzionale al prodotto delle masse stesse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. A cosa serve? Tutti i corpi del nostro universo si attraggono reciprocamente secondo questa legge. Se il nostro Sistema Solare si muove come lo vediamo noi, è proprio per il risultato delle mutue forze agenti sui corpi, tra le quali quella del Sole è la componente dominante. Senza ombra di dubbio, questo è uno dei capisaldi della fisica.
Radice quadrata di -1
Questo è uno di quei concetti che a scuola veniva solo accennato ma che poi, andando avanti negli studi, apriva un mondo del tutto nuovo. Dapprima, siamo stati abituati a pensare ai numeri naturali, agli interi, poi alle frazioni infine ai numeri irrazionali. A volte però comparivano nei nostri esercizi le radici quadrate di numeri negativi e semplicemente il tutto si concludeva con una soluzione che “non esiste nei reali”. Dove esiste allora? Quei numeri non esistono nei reali perchè vivono nei “complessi”, cioè in quei numeri che arrivano, appunto, da radici con indice pari di numeri negativi. Lo studio dei numeri complessi rappresenta un importante aspetto di diversi settori della conoscenza: la matematica, l’informatica, la fisica teorica e, soprattutto, nella scienza delle telecomunicazioni.
Formula di Eulero per i poliedri
Questa relazione determina una correlazione tra facce, spigoli e vertici di un poliedro cioè, in parole semplici, della versione in uno spazio tridimensionale dei poligoni. Questa apparentemente semplice relazione, ha rappresentato la base per lo sviluppo della “topologia” e degli invarianti topologici, concetti fondamentali nello studio della fisica moderna.
Distribuzione normale
Il ruolo della distribuzione normale, o gaussiana, è indiscutibile nello sviluppo e per la comprensione dell’intera statistica. Questo genere di curva ha la classica forma a campana centrata intorno al valore di maggior aspettazione e la cui larghezza fornisce ulteriori informazioni sul campione che stiamo analizzando. Nell’analisi statistica di qualsiasi fenomeno in cui il campione raccolto sia statisticamente significativo e indipendente, la distribuzione normale ci fornisce dati oggettivi per comprendere tutti i vari trend. Le applicazioni di questo concetto sono praticametne infinite e pari a tutte quelle situazioni in cui si chiama in causa la statistica per descrivere un qualsiasi fenomeno.
Equazione delle Onde
Questa è un’equazione differenziale che descrive l’andamento nel tempo e nello spazio di un qualsiasi sistema vibrante o, più in generale, di un’onda. Questa equazione può essere utilizzata per descrivere tantissimi fenomeni fisici, tra cui anche la stessa luce. Storicamente poi, vista la sua importanza, gli studi condotti per la risoluzione di questa equazione differenziale hanno rappresentato un ottimo punto di partenza che ha permesso la risoluzione di tante altre equazioni differenziali.
Trasformata di Fourier
Se nell’equazione precedente abbiamo parlato di qualcosa in grado di descrivere le variazioni spazio-temporali di un’onda, con la trasformata di Fourier entriamo invece nel vivo dell’analisi di un’onda stessa. Molte volte, queste onde sono prodotte dalla sovrapposizione di tantissime componenti che si sommano a loro modo dando poi un risultato finale che noi percepiamo. Bene, la trasformata di Fourier consente proprio di scomporre, passatemi il termine, un fenomeno fisico ondulatorio, come ad esempio la nostra voce, in tante componenti essenziali più semplici. La trasformata di Fourier è alla base della moderna teoria dei segnali e della compressione dei dati nei moderni cacolatori.
Equazioni di Navier-Stokes
Prendiamo un caso molto semplice: accendiamo una sigaretta, lo so, fumare fa male, ma qui lo facciamo per scienza. Vedete il fumo che esce e che lentamente sale verso l’alto. Come è noto, il fumo segue un percorso molto particolare dovuto ad una dinamica estremamente complessa prodotta dalla sovrapposizione di un numero quasi infinito di collissioni tra molecole. Bene, le equazioni differenziali di Navier-Stokes descrivono l’evoluzione nel tempo di un sistema fluidodinamico. Provate solo a pensare a quanti sistemi fisici includono il moto di un fluido. Bene, ad oggi abbiamo solo delle soluzioni approssimate delle equazioni di Navier-Stokes che ci consentono di simulare con una precisione più o meno accettabile, in base al caso specifico, l’evoluzione nel tempo. Approssimazioni ovviamente fondamentali per descrivere un sistema fluidodinamico attraverso simulazioni al calcolatore. Piccolo inciso, c’è un premio di 1 milione di dollari per chi riuscisse a risolvere esattamente le equazioni di Navier-Stokes.
Equazioni di Maxwell
Anche di queste abbiamo più volte parlato in diversi articoli. Come noto, le equazioni di Maxwell racchiudono al loro interno i più importanti risultati dell’elettromagnetismo. Queste quattro equazioni desrivono infatti completamente le fondamentali proprietà del campo elettrico e magnetico. Inoltre, come nel caso di campi variabili nel tempo, è proprio da queste equazioni che si evince l’esistenza di un campo elettromagnetico e della fondamentale relazione tra questi concetti. Molte volte, alcuni soggetti dimenticano di studiare queste equazioni e sparano cavolate enormi su campi elettrici e magnetici parlando di energia infinita e proprietà che fanno rabbrividire.
La seconda legge della Termodinamica
La versione riportata su questa tabella è, anche a mio avviso, la più affascinante in assoluto. In soldoni, la legge dice che in un sistema termodinamico chiuso, l’entropia può solo aumentare o rimanere costante. Spesso, questo che è noto come “principio di aumento dell’entropia dell’universo”, è soggetto a speculazioni filosofiche relative al concetto di caos. Niente di più sbagliato. L’entropia è una funzione di stato fondamentale nella termodinamica e il suo aumento nei sistemi chiusi impone, senza mezzi termini, un verso allo scorrere del tempo. Capite bene quali e quante implicazioni questa legge ha avuto non solo nella termodinamica ma nella fisica in generale, tra cui anche nella teoria della Relatività Generale di Einstein.
Relatività
Quella riportata nella tabella, se vogliamo, è solo la punta di un iceberg scientifico rappresentato dalla teoria della Relatività, sia speciale che generale. La relazione E=mc^2 è nota a tutti ed, in particolare, mette in relazione due parametri fisici che, in linea di principio, potrebbero essere del tutto indipendenti tra loro: massa ed energia. Su questa legge si fonda la moderna fisica degli acceleratori. In questi sistemi, di cui abbiamo parlato diverse volte, quello che facciamo è proprio far scontrare ad energie sempre più alte le particelle per produrne di nuove e sconosciute. Esempio classico e sui cui trovate diversi articoli sul blog è appunto quello del Bosone di Higgs.
Equazione di Schrodinger
Senza mezzi termini, questa equazione rappresenta il maggior risultato della meccanica quantistica. Se la relatività di Einstein ci spiega come il nostro universo funziona su larga scala, questa equazione ci illustra invece quanto avviene a distanze molto molto piccole, in cui la meccanica quantistica diviene la teoria dominante. In particolare, tutta la nostra moderna scienza su atomi e particelle subatomiche si fonda su questa equazione e su quella che viene definita funzione d’onda. E nella vita di tutti i giorni? Su questa equazione si fondano, e funzionano, importanti applicazioni come i laser, i semiconduttori, la fisica nucleare e, in un futuro prossimo, quello che indichiamo come computer quantistico.
Teorema di Shannon o dell’informazione
Per fare un paragone, il teorema di Shannon sta ai segnali così come l’entropia è alla termodinamica. Se quest’ultima rappresenta, come visto, la capicità di un sistema di fornire lavoro, il teorema di Shannon ci dice quanta informazione è contenuta in un determinato segnale. Per una migliore comprensione del concetto, conviene utilizzare un esempio. Come noto, ci sono programmi in grado di comprimere i file del nostro pc, immaginiamo una immagine jpeg. Bene, se prima questa occupava X Kb, perchè ora ne occupa meno e io la vedo sempre uguale? Semplice, grazie a questo risultato, siamo in grado di sapere quanto possiamo comprimere un qualsiasi segnale senza perdere informazione. Anche per il teorema di Shannon, le applicazioni sono tantissime e vanno dall’informatica alla trasmissione dei segnali. Si tratta di un risultato che ha dato una spinta inimmaginabile ai moderni sistemi di comunicazione appunto per snellire i segnali senza perdere informazione.
Teoria del Caos o Mappa di May
Questo risultato descrive l’evoluzione temporale di un qualsiasi sistema nel tempo. Come vedete, questa evoluzione tra gli stati dipende da K. Bene, ci spossono essere degli stati di partenza che mplicano un’evoluzione ordinata per passi certi e altri, anche molto prossimi agli altri, per cui il sistema si evolve in modo del tutto caotico. A cosa serve? Pensate ad un sistema caotico in cui una minima variazione di un parametro può completamente modificare l’evoluzione nel tempo dell’intero sistema. Un esempio? Il meteo! Noto a tutti è il cosiddetto effetto farfalla: basta modificare di una quantità infinitesima un parametro per avere un’evoluzione completamente diversa. Bene, questi sistemi sono appunto descritti da questo risultato.
Equazione di Black-Scholes
Altra equazione differenziale, proprio ad indicarci di come tantissimi fenomeni naturali e non possono essere descritti. A cosa serve questa equazione? A differenza degli altri risultati, qui entriamo in un campo diverso e più orientato all’uomo. L’equazione di Black-Scholes serve a determinare il prezzo delle opzioni in borsa partendo dalla valutazione di parametri oggettivi. Si tratta di uno strumento molto potente e che, come avrete capito, determina fortemente l’andamento dei prezzi in borsa e dunque, in ultima analisi, dell’economia.
Bene, queste sono le 17 equazioni che secondo Stewart hanno cambiato il mondo. Ora, ognuno di noi, me compreso, può averne altre che avrebbe voluto in questa lista e che reputa di fondamentale importanza. Sicuramente questo è vero sempre ma, lasciatemi dire, questa lista ci ha permesso di passare attraverso alcuni dei più importanti risultati storici che, a loro volta, hanno spinto la conoscenza in diversi settori. Inoltre, come visto, questo articolo ci ha permesso di rivalutare alcuni concetti che troppo spesso vengono fatti passare come semplici regolette non mostrando la loro vera potenza e le implicazioni che hanno nella vita di tutti i giorni e per l’evoluzione stessa della scienza.
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