17 equazioni che hanno cambiato il mondo

Nel 2013 Ian Stewart, professore emerito di matematica presso l’università di Warwick, ha pubblicato un libro molto interessante e che consiglio a tutti di leggere, almeno per chi non ha problemi con l’inglese. Come da titolo di questo articolo, il libro si intitola “Alla ricerca dello sconosciuto: 17 equazioni che hanno cambiato il mondo”.

Perchè ho deciso di dedicare un articolo a questo libro?

In realtà, il mio articolo, anche se, ripeto, è un testo che consiglio, non vuole essere una vetrina pubblicitaria a questo testo, ma l’inizio di una riflessione molto importante. Queste famose 17 equazioni che, secondo l’autore, hanno contribuito a cambiare il mondo che oggi conosciamo, rappresentano un ottimo punto di inizio per discutere su alcune importanti relazioni scritte recentemente o, anche, molti secoli fa.

Come spesso ripetiamo, il ruolo della fisica è quello di descrivere il mondo, o meglio la natura, che ci circonda. Quando i fisici fanno questo, riescono a comprendere perchè avviene un determinato fenomeno e sono altresì in grado di “predirre” come un determinato sistema evolverà nel tempo. Come è possibile questo? Come è noto, la natura ci parla attraverso il linguaggio della matematica. Modellizare un sistema significa trovare una o più equazioni che  prendono in considerazione i parametri del sistema e trovano una relazione tra questi fattori per determinare, appunto, l’evoluzione temporale del sistema stesso.

Ora, credo che sia utile partire da queste 17 equzioni proprio per riflettere su alcuni importanti risultati di cui, purtroppo, molti ignorano anche l’esistenza. D’altro canto, come vedremo, ci sono altre equazioni estremanete importanti, se non altro per le loro conseguenze, che vengono studiate a scuola senza però comprendere la potenza o le implicazioni che tali risultati hanno sulla natura.

Senza ulteriori inutili giri di parole, vi presento le 17 equazioni, ripeto secondo Stewart, che hanno cambiato il mondo:

Le 17 equazioni che hanno cambiato il mondo secondo Ian Stewart

Sicuramente, ognuno di noi, in base alla propria preparazione, ne avrà riconosciute alcune.

Passiamo attraverso questa lista per descrivere, anche solo brevemente, il significato e le implicazioni di questi importanti risultati.

Teorema di Pitagora

Tutti a scuola abbiamo appreso questa nozione: la somma dell’area dei quadrati costruiti sui cateti, è pari all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa. Definizione semplicissima, il più delle volte insegnata come semplice regoletta da tenere a mente per risolvere esercizi. Questo risultato è invece estremamente importante e rappresenta uno dei maggiori assunti della geometria Euclidea, cioè quella che tutti conoscono e che è relativa al piano. Oltre alla tantissime implicazioni nello spazio piano, la validità del teorema di Pitagora rappresenta una prova indiscutibile della differenza tra spazi euclidei e non. Per fare un esempio, questo risultato non è più vero su uno spazio curvo. Analogamente, proprio sfruttando il teorema di Pitagora, si possono fare misurazioni sul nostro universo, parlando proprio di spazio euclideo o meno.

 

Logaritmo del prodotto

Anche qui, come riminescenza scolastica, tutti abbiamo studiato i logaritmi. Diciamoci la verità, per molti questo rappresentava un argomento abbastanza ostico e anche molto noioso. La proprietà inserita in questa tabella però non è affatto banale e ha avuto delle importanti applicazioni prima dello sviluppo del calcolo informatizzato. Perchè? Prima dei moderni calcolatori, la trasformazione tra logaritmo del prodotto e somma dei logaritmi, ha consentito, soprattutto in astronomia, di calcolare il prodotto tra numeri molto grandi ricorrendo a più semplici espedienti di calcolo. Senza questa proprietà, molti risultati che ancora oggi rappresentano basi scientifiche sarebbero arrivati con notevole ritardo.

 

Limite del rapporto incrementale

Matematicamente, la derivata di una funzione rappresenta il limite del rapporto incrementale. Interessante! Cosa ci facciamo? La derivata di una funzione rispetto a qualcosa, ci da un’indicazione di quanto quella funzione cambi rispetto a quel qualcosa. Un esempio pratico è la velocità, che altro non è che la derivata dello spazio rispetto al tempo. Tanto più velocemente cambia la nostra posizione, tanto maggiore sarà la nostra velocità. Questo è solo un semplice esempio ma l’operazione di derivata è uno dei pilastri del linguaggio matematico utilizzato dalla natura, appunto mai statica.

 

Legge di Gravitazione Universale

Quante volte su questo blog abbiamo citato questa legge. Come visto, questa importante relazione formulata da Newton ci dice che la forza agente tra due masse è direttamente proporzionale al prodotto delle masse stesse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. A cosa serve? Tutti i corpi del nostro universo si attraggono reciprocamente secondo questa legge. Se il nostro Sistema Solare si muove come lo vediamo noi, è proprio per il risultato delle mutue forze agenti sui corpi, tra le quali quella del Sole è la componente dominante. Senza ombra di dubbio, questo è uno dei capisaldi della fisica.

 

Radice quadrata di -1

Questo è uno di quei concetti che a scuola veniva solo accennato ma che poi, andando avanti negli studi, apriva un mondo del tutto nuovo. Dapprima, siamo stati abituati a pensare ai numeri naturali, agli interi, poi alle frazioni infine ai numeri irrazionali. A volte però comparivano nei nostri esercizi le radici quadrate di numeri negativi e semplicemente il tutto si concludeva con una soluzione che “non esiste nei reali”. Dove esiste allora? Quei numeri non esistono nei reali perchè vivono nei “complessi”, cioè in quei numeri che arrivano, appunto, da radici con indice pari di numeri negativi. Lo studio dei numeri complessi rappresenta un importante aspetto di diversi settori della conoscenza: la matematica, l’informatica, la fisica teorica e, soprattutto, nella scienza delle telecomunicazioni.

 

Formula di Eulero per i poliedri

Questa relazione determina una correlazione tra facce, spigoli e vertici di un poliedro cioè, in parole semplici, della versione in uno spazio tridimensionale dei poligoni. Questa apparentemente semplice relazione, ha rappresentato la base per lo sviluppo della “topologia” e degli invarianti topologici, concetti fondamentali nello studio della fisica moderna.

 

Distribuzione normale

Il ruolo della distribuzione normale, o gaussiana, è indiscutibile nello sviluppo e per la comprensione dell’intera statistica. Questo genere di curva ha la classica forma a campana centrata intorno al valore di maggior aspettazione e la cui larghezza fornisce ulteriori informazioni sul campione che stiamo analizzando. Nell’analisi statistica di qualsiasi fenomeno in cui il campione raccolto sia statisticamente significativo e indipendente, la distribuzione normale ci fornisce dati oggettivi per comprendere tutti i vari trend. Le applicazioni di questo concetto sono praticametne infinite e pari a tutte quelle situazioni in cui si chiama in causa la statistica per descrivere un qualsiasi fenomeno.

 

Equazione delle Onde

Questa è un’equazione differenziale che descrive l’andamento nel tempo e nello spazio di un qualsiasi sistema vibrante o, più in generale, di un’onda. Questa equazione può essere utilizzata per descrivere tantissimi fenomeni fisici, tra cui anche la stessa luce. Storicamente poi, vista la sua importanza, gli studi condotti per la risoluzione di questa equazione differenziale hanno rappresentato un ottimo punto di partenza che ha permesso la risoluzione di tante altre equazioni differenziali.

 

Trasformata di Fourier

Se nell’equazione precedente abbiamo parlato di qualcosa in grado di descrivere le variazioni spazio-temporali di un’onda, con la trasformata di Fourier entriamo invece nel vivo dell’analisi di un’onda stessa. Molte volte, queste onde sono prodotte dalla sovrapposizione di tantissime componenti che si sommano a loro modo dando poi un risultato finale che noi percepiamo. Bene, la trasformata di Fourier consente proprio di scomporre, passatemi il termine, un fenomeno fisico ondulatorio, come ad esempio la nostra voce, in tante componenti essenziali più semplici. La trasformata di Fourier è alla base della moderna teoria dei segnali e della compressione dei dati nei moderni cacolatori.

 

Equazioni di Navier-Stokes

Prendiamo un caso molto semplice: accendiamo una sigaretta, lo so, fumare fa male, ma qui lo facciamo per scienza. Vedete il fumo che esce e che lentamente sale verso l’alto. Come è noto, il fumo segue un percorso molto particolare dovuto ad una dinamica estremamente complessa prodotta dalla sovrapposizione di un numero quasi infinito di collissioni tra molecole. Bene, le equazioni differenziali di Navier-Stokes descrivono l’evoluzione nel tempo di un sistema fluidodinamico. Provate solo a pensare a quanti sistemi fisici includono il moto di un fluido. Bene, ad oggi abbiamo solo delle soluzioni approssimate delle equazioni di Navier-Stokes che ci consentono di simulare con una precisione più o meno accettabile, in base al caso specifico, l’evoluzione nel tempo. Approssimazioni ovviamente fondamentali per descrivere un sistema fluidodinamico attraverso simulazioni al calcolatore. Piccolo inciso, c’è un premio di 1 milione di dollari per chi riuscisse a risolvere esattamente le equazioni di Navier-Stokes.

 

Equazioni di Maxwell

Anche di queste abbiamo più volte parlato in diversi articoli. Come noto, le equazioni di Maxwell racchiudono al loro interno i più importanti risultati dell’elettromagnetismo. Queste quattro equazioni desrivono infatti completamente le fondamentali proprietà del campo elettrico e magnetico. Inoltre, come nel caso di campi variabili nel tempo, è proprio da queste equazioni che si evince l’esistenza di un campo elettromagnetico e della fondamentale relazione tra questi concetti. Molte volte, alcuni soggetti dimenticano di studiare queste equazioni e sparano cavolate enormi su campi elettrici e magnetici parlando di energia infinita e proprietà che fanno rabbrividire.

 

La seconda legge della Termodinamica

La versione riportata su questa tabella è, anche a mio avviso, la più affascinante in assoluto. In soldoni, la legge dice che in un sistema termodinamico chiuso, l’entropia può solo aumentare o rimanere costante. Spesso, questo che è noto come “principio di aumento dell’entropia dell’universo”, è soggetto a speculazioni filosofiche relative al concetto di caos. Niente di più sbagliato. L’entropia è una funzione di stato fondamentale nella termodinamica e il suo aumento nei sistemi chiusi impone, senza mezzi termini, un verso allo scorrere del tempo. Capite bene quali e quante implicazioni questa legge ha avuto non solo nella termodinamica ma nella fisica in generale, tra cui anche nella teoria della Relatività Generale di Einstein.

 

Relatività

Quella riportata nella tabella, se vogliamo, è solo la punta di un iceberg scientifico rappresentato dalla teoria della Relatività, sia speciale che generale. La relazione E=mc^2 è nota a tutti ed, in particolare, mette in relazione due parametri fisici che, in linea di principio, potrebbero essere del tutto indipendenti tra loro: massa ed energia. Su questa legge si fonda la moderna fisica degli acceleratori. In questi sistemi, di cui abbiamo parlato diverse volte, quello che facciamo è proprio far scontrare ad energie sempre più alte le particelle per produrne di nuove e sconosciute. Esempio classico e sui cui trovate diversi articoli sul blog è appunto quello del Bosone di Higgs.

 

Equazione di Schrodinger

Senza mezzi termini, questa equazione rappresenta il maggior risultato della meccanica quantistica. Se la relatività di Einstein ci spiega come il nostro universo funziona su larga scala, questa equazione ci illustra invece quanto avviene a distanze molto molto piccole, in cui la meccanica quantistica diviene la teoria dominante. In particolare, tutta la nostra moderna scienza su atomi e particelle subatomiche si fonda su questa equazione e su quella che viene definita funzione d’onda. E nella vita di tutti i giorni? Su questa equazione si fondano, e funzionano, importanti applicazioni come i laser, i semiconduttori, la fisica nucleare e, in un futuro prossimo, quello che indichiamo come computer quantistico.

 

Teorema di Shannon o dell’informazione

Per fare un paragone, il teorema di Shannon sta ai segnali così come l’entropia è alla termodinamica. Se quest’ultima rappresenta, come visto, la capicità di un sistema di fornire lavoro, il teorema di Shannon ci dice quanta informazione è contenuta in un determinato segnale. Per una migliore comprensione del concetto, conviene utilizzare un esempio. Come noto, ci sono programmi in grado di comprimere i file del nostro pc, immaginiamo una immagine jpeg. Bene, se prima questa occupava X Kb, perchè ora ne occupa meno e io la vedo sempre uguale? Semplice, grazie a questo risultato, siamo in grado di sapere quanto possiamo comprimere un qualsiasi segnale senza perdere informazione. Anche per il teorema di Shannon, le applicazioni sono tantissime e vanno dall’informatica alla trasmissione dei segnali. Si tratta di un risultato che ha dato una spinta inimmaginabile ai moderni sistemi di comunicazione appunto per snellire i segnali senza perdere informazione.

 

Teoria del Caos o Mappa di May

Questo risultato descrive l’evoluzione temporale di un qualsiasi sistema nel tempo. Come vedete, questa evoluzione tra gli stati dipende da K. Bene, ci spossono essere degli stati di partenza che mplicano un’evoluzione ordinata per passi certi e altri, anche molto prossimi agli altri, per cui il sistema si evolve in modo del tutto caotico. A cosa serve? Pensate ad un sistema caotico in cui una minima variazione di un parametro può completamente modificare l’evoluzione nel tempo dell’intero sistema. Un esempio? Il meteo! Noto a tutti è il cosiddetto effetto farfalla: basta modificare di una quantità infinitesima un parametro per avere un’evoluzione completamente diversa. Bene, questi sistemi sono appunto descritti da questo risultato.

 

Equazione di Black-Scholes

Altra equazione differenziale, proprio ad indicarci di come tantissimi fenomeni naturali e non possono essere descritti. A cosa serve questa equazione? A differenza degli altri risultati, qui entriamo in un campo diverso e più orientato all’uomo. L’equazione di Black-Scholes serve a determinare il prezzo delle opzioni in borsa partendo dalla valutazione di parametri oggettivi. Si tratta di uno strumento molto potente e che, come avrete capito, determina fortemente l’andamento dei prezzi in borsa e dunque, in ultima analisi, dell’economia.

 

Bene, queste sono le 17 equazioni che secondo Stewart hanno cambiato il mondo. Ora, ognuno di noi, me compreso, può averne altre che avrebbe voluto in questa lista e che reputa di fondamentale importanza. Sicuramente questo è vero sempre ma, lasciatemi dire, questa lista ci ha permesso di passare attraverso alcuni dei più importanti risultati storici che, a loro volta, hanno spinto la conoscenza in diversi settori. Inoltre, come visto, questo articolo ci ha permesso di rivalutare alcuni concetti che troppo spesso vengono fatti passare come semplici regolette non mostrando la loro vera potenza e le implicazioni che hanno nella vita di tutti i giorni e per l’evoluzione stessa della scienza.

 

”Psicosi 2012. Le risposte della scienza”, un libro di divulgazione della scienza accessibile a tutti e scritto per tutti. Matteo Martini, Armando Curcio Editore.

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Le scale sismologiche

Nella sezione:

– Hai domade o dubbi

e’ stata fatta una richiesta molto interessante che riguarda le scala sismologiche. In particolare, si chiedeva di illustrare nel blog la scala ESI 2007, ma credo che sia molto interessante parlare in generale di quali scale vengono utilizzate per classificare un sisma e quali sono le differenze tra queste.

Di principio, tutti conoscono la scala Mercalli e la scala Richter, che sono quelle apparentemente piu’ utilizzate e che sentiamo nominare in occasione di qualche sisma che avviene nel mondo. Ho detto “apparentemente” perche’ prima di tutto ci sono molte altre scale utilizzate soprattutto dai sismologi ed inoltre molte di queste riescono a classificare i terremoti in modo piu’ scientifico, basandosi proprio sulla natura fisica del fenomeno, piuttosto che, ad esempio, sui danni creati da un sisma.

Dal punto di vista storico, la prima scala basata su presupposti scientifici fu la Rossi-Forel a dieci gradi. Proprio da questa, il sismologo e vulcanologo Mercalli derivo’ una scala a 12 gradi basata sull’intensita’ di un sisma. Fate attenzione, per prima cosa, parlando di terremoti, e’ molto importante distinguere tra intensita’ e magnitudo, termini spesso confusi tra loro dai non addetti ai lavori. Per far capire questa differenza, su cui torneremo in seguito descrivendo i processi fisici, basti pensare che due terremoti di uguale magnitudo possono avere intensita’ diversa se, ad esempio, avvengono con ipocentri a profondita’ diversa tra loro.

Detto questo, la scala Mercalli e’ basata sugli effetti che un terremoto puo’ avere su persone, cose e manufatti. Alla luce di quanto detto, appare evidente che un terremoto di altissima magnitudo che avviene in una zona desertica non popolata, avra’ un grado Mercalli inferiore proprio per la mancanza di danni a cose e persone.

Per essere precisi, l’attuale scala utilizzata e’ detta Mercalli-Cancani-Siedberg ed e’ a 12 gradi. In origine, la scala Mercalli, cosi’come la Rossi-Forel, aveva solo 10 gradi. Fu proprio il sismologo Cancani ad esternderla a 12 gradi. Generalmente, i gradi piu’ bassi della scala vengono attribuiti in base alla percezione delle persone, mentre per i gradi piu’ alti ci si basa sugli effetti agli edifici e ai manufatti in generale.

Da quanto detto, appare evidente che la scala Mercalli non e’ basata su nessuna quantita’ fisica legata al terremoto, ma solo agli effetti del sisma. Se vogliamo, questo inizialmente potrebbe essere un vantaggio di questa scala dal momento che per l’attribuzione dell grado non e’ necessaria alcuna strumentazione specifica.

Proprio queste considerazioni hanno poi portato alla formulazione della scala Richter. Piccola premessa, il termine scala Richter, non e’ in realta’ molto utilizzato dalla comunita’ sismologica in quanto la scala viene detta “Magnitudo Locale”. Come e’ definita? Come anticipato, questa scala misura la magnitudo del sisma ed e’ direttamente legata all’energia rilasciata nel sottosuolo. Questo parametro viene stimato per il terremoto all’ipocentro ed e’ dunque non dipendente, come e’ evidente, dalle tecniche costruttive utilizzate in una determinata zona. A parte il particolare sismografo utilizzato per determinare il grado Richter, questa e’ una scala logaritmica in cui vengono definiti i decimi di magnitudo (M X.Y) ed in cui, ad esempio, una determinata magnitudo e’ circa 32 volte maggiore della successiva: M6=32M5, ecc.

Ora, date queste due scale, perche’ avremmo bisogno di altro? Come detto, la scala Mercalli e’ relativa ai danni del terremoto, la acala Richter invece e’ direttamente legata all’energia rilasciata dal sisma e dunque descrive la meccanica del fenomeno. In realta’, quest’ultima scala presenta dei problemi di saturazione per i gradi maggiori, dovuti al fatto che, sopra M8.5, terremoti di magnitudo diversa possono risultare nello stesso valore della scala.

Per risolvere questo problema, e’ stata poi introdotta la scala del “momento sismico”. Analogamente alla Richter, anche questa scala e’ di tipo logaritmico e si basa sulla stima dell’energia rilasciata nell’ipocentro. A differenza pero’ della prima, non presenta i problemi di saturazione.

Da quanto detto, appare evidente come queste scale siano completamente scorrelate tra loro, trattando un sisma sotto aspetti diversi. Se ci pensiamo bene, entrambi i parametri utilizzati potrebbero essere utili per una valutazione e per una comparazione, ad esempio, per sismi successivi avvenuti nello stesso luogo. Sulla base di questo, e’ stata sviluppata la “Scala Macrosismica Europea”, o EMS-98. In questa definizione, si distingue un sisma in base alla forza degli effetti di un terremoto in un luogo specifico. In questo senso, entra ovviamente l’energia del sisma, ma anche i danni provocati dal fenomeno in un determinato luogo, caratterizzato da specifiche tecniche costruttive e densita’ abitative. Anche la EMS-98 presenta 12 gradi e, passando dai livelli piu’ bassi a quelli piu’ alti, di volta in volta la percezione umana del sisma lascia spazio ai danni agli oggetti provocati dal fenomeno. Per quanto piu’ precisa e meglio utilizzabile, anche questa scala presenta delle limitazioni simili a quelle dei suoi predecessori: confusione nell’attribuzione di un livello alto, influenze soggettive nella valutazione dei danni agli edifici.

Per evitare queste problematiche, nel 2007 e’ stata sviluppata una nuova scala detta “Environmental Seismic Intensity Scale”, o ESI-2007. Come suggerisce il nome stesso, questa scala si basa sugli effetti ambientali che un sisma puo’ avere in un determinato luogo. Fate attenzione, stiamo parlando di ambiente in generale, non solo di antropizzazione. In tal senso, questa scala va proprio a valutare la fagliazione provocata nel terreno, fenomeni di subsidenza, liquefazione, frattura, ecc. Come visto in diversi articoli, questi sono tutti effetti seguenti ad un sisma e che possono essere utilizzati per descrivere il fenomeno partendo proprio dalle sue conseguenze sull’ambiente.

Qual e’ il vantaggio di questa tecnica? Come sappiamo, molto spesso un terremoto tende a ripetersi in zone in cui e’ gia’ avvenuto. Valutare, e dunque raccontare, il sisma basandosi proprio sui suoi effetti sull’ambiente, puo’ aiutarci a prevenire i danni del terremoto. In che modo? Parlare di case distrutte, non e’ di per se un parametro utilie, ad esempio, per confrontarci con fenomeni avvenuti decenni prima. Questo e’ evidente se si pensa alle diverse tecniche costruttive, ma anche al grado di antropizzazione di un determinato luogo. Parlando invece di conseguenze sull’ambiente, e’ possibile prima di tutto confrontarci con gli eventi passati, ma soprattutto ci permette di predisporre piani di emergenza mirati, conoscendo le eventuali problematiche che potrebbero verificarsi in concomitanza con un sisma di alta intensita’.

Ultima considerazione che vi sara’ venuta in mente: perche’ parliamo di nuova scala se il nome e’ qualcosa-2007? Semplicemente perche’ nel 2007 e’ stta presentata questa divisione, ma prima di poter essere utilizzata, sono richiesti 5 anni di sperimentazione, cosi’ come avvenuto.

Concludendo, esistono diverse scale sismologiche per poter valutare e distinguere tra loro i diversi terremoti. Cme visto pero’, queste presentano alcune limitazioni specifiche dovute alla stima dei danni o alla caratteristica fisica presa in considerazione. Distinzione molto importante e’ quella tra magnitudo e intensita’ che, come visto, sono due termini spesso confusi ma che in realta’ caratterizzano cose completamente diverse tra loro. La nuova scala ESI-2007, consente di valutare gli effetti provocati da un sisma sull’ambiente, determiando cosi’ un confronto diretto e sempre possibile in un luogo specifico. Come potete facilmente immaginare, per poter definire esattamente il grado ESI di un sisma, i sismologi devono recarsi sul luogo per poter stimare al meglio gli effetti ambientali lasciati. Oltre a quelle viste, vi sono poi altre scale, spesso simili alle altre, ma il cui utilizzo e’, ad esempio, specifico di un determinato luogo per motivi storici o culturali.

 

”Psicosi 2012. Le risposte della scienza”, un libro di divulgazione della scienza accessibile a tutti e scritto per tutti. Matteo Martini, Armando Curcio Editore.